第71章 统计与概率的故事(1)

　　1.妙算男女比例

　　你知道新生婴儿的男女比例吗？18世纪法国数学家拉普拉斯就曾经用统计的知识对伦敦、柏林、彼得堡等几个城市和法国全国婴儿的出生情况进行过调查。

　　经过持续10年的研究，拉普拉斯发现，男婴在所有婴儿中的比例为22\/43≈0.512。可是，在同时研究巴黎60年（1725—1784年）间类似的统计资料时，得出的数据却是25\/49≈0.510，为什么数据有差别呢？拉普拉斯对这个问题进行了研究，发现，总的数据里包含了一切的弃婴，因为当时弃婴现象比较严重，而弃婴中女婴较多，这样就使得巴黎统计数据不够准确了。当拉普拉斯从出生婴儿总数中减去这些弃婴的数字后，再进行计算，则男婴的出生率也就稳定在22\/43左右。这和法国其他地区以及外国所统计的数据是完全一致的。

　　拉普拉斯成功地统计了男女比例，对以后的一些研究提供了很大的帮助。你对什么东西感兴趣呢？看看用什么样的方法来求得你想到的结果呢？

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　　我去参观气象站，看到许多预测天气的最新仪器。

　　参观完毕，我问站长：“你说有75%的概率下雨时，是怎样计算出来的？”

　　站长不必多想便答道：“那就是说，我们这里有14个人，其中3个人认为会下。”

　　2.从赌博中得出的概率论

　　卡当是一个很有才华的人。他知识面非常广，不仅是一名医生，同时又是一位数学家。可是，他也有一个爱好——赌博，在业余时间经常和朋友们一起玩。一般的人仅仅把赌博看成一种游戏，而卡当却从赌博中发现了数学问题，并因此取得了巨大成就。

　　一次，卡当的一个贵族朋友和人家打赌掷骰子。可是他不知道把钱押在哪个数字上容易赢。为此头疼不已。贵族赢钱心切，他想到了聪明的卡当。于是他找来卡当帮忙。卡当对此也非常感兴趣，一向喜欢思考的他开始认真研究起来。

　　每个骰子有6个面，把两颗骰子扔出去，点数之和可能是从2到12的任意一个数字，可是哪个数字出现的可能性最大呢？

　　卡当拿出纸笔，计算了一下。发现了一个结果：两个骰子朝上1面一共有36种可能，从2到12这11个数字中，7是最容易出现的和数，它出现的可能性的是1\/6。

　　所以卡当预言，押7最容易赢。

　　贵族听了卡当的话，把大部分的钱押在7上，果然赢了很多钱。

　　这在现在看来很简单的方法在当时却是非常杰出的思想方法。

　　在那个时代，虽然概率的萌芽有些发展，但是还没有出现真正的概率论。

　　卡当并没有停留在对赌博的研究。为了弄清楚这个问题，他找到许多著名的数学家一起讨论。这样，就诞生了新的数学分支——概率论。卡当的发现对概率论的出现有非常重要的作用。

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　　英国诗人捷尼逊写过一首诗，其中几行是这样写的：“每分钟都有一个人在死亡，每分钟都有一个人在诞生……”

　　有个数学家读后去信质疑，信上说：“尊敬的阁下，读罢大作，令人一快，但有几行不合逻辑，实难苟同。根据您的算法，每分钟生死人数相抵，地球上的人数是永恒不变的。但您也知道，事实上地球上的人口是不断地在增长。确切地说，每分钟相对的有1.6749人在诞生，这与您在诗中提供的数字出入甚多。为了符合实际，如果您不反对，我建议您使用7\/6这个分数，即将诗句改为：‘每分钟都有一个人死亡，每分钟都有11\/6人在诞生……”

　　3.愚蠢的士兵

　　东西相邻两国发生战争。东西国家之间有一条大河。河上没有桥，而且因为战争，摆渡的船也都停止了做生意。西方的国家取胜心切，派了一名大将率领8000名士兵进攻东方的国家。

　　大军在河边集结以后，为了快速渡河，将军派兵查看水情。

　　“这条江的平均水深是多少？”将军问。

　　部队参谋回答道：“将军，平均水深是140厘米。”

　　“那我们士兵的平均身高呢？”

　　“士兵的平均身高是168厘米。”

　　“太好了，这样头正好可以露在水面上走过去。大家跟上，过江吧！”将军非常得意，他以为这样就能安全过河了。

　　士兵们一排接一排，向江水中走去。他们越走水越深，水先没过了腿，然后是腰，接着没过了脖子，差不多走到江的水中央时，将军和士兵们全部掉入水中淹死了。最后，东方的国家不战而胜，西部国家实力大损。

　　问题出在哪里呢？难道部队参谋错了吗？没有。一切问题的根源在“平均”二字上。说“平均”水深，并不意味着河水最深的地方是140厘米。

　　其实江水最浅的地方只有100厘米，但是江水中央最深的地方水深却是180厘米。

　　所谓140厘米，仅仅指的是平均值，身高不足180厘米的士兵们显然会掉入水中淹死。因此，西部的国家不战而败。

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　　在上数学课的时候老师问同学们：“如果10个人拆一座房子需要3天，那么由5个人来拆同一座房子需要多少时间呢？”

　　“这不可能，”一个男孩回答，“因为同一座房子不能拆两次，老师！”

　　4.大数学家判赌局

　　伟大的数学家、物理学家和哲学家帕斯卡有一次出外旅行。他偶遇贵族子弟梅累，为了打发无聊的旅途时光，两人闲聊起来。梅累嗜赌如命，他曾经遇到过的一个分赌金的问题，至今让他迷惑不解。这次和大数学家帕斯卡同行，他开始请教帕斯卡这个问题。

　　梅累说，一次他和赌友掷骰子，各用32个金币做赌注，约定，如果梅累先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方。两个人赌了一阵儿，梅累已经掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”。可就在即将分出输赢的时候，梅累得到命令，需要立刻觐见国王，所以这场赌局中断了。那么他们俩该怎样分这64个金币的赌金呢？梅累和赌友争起来。

　　赌友说，梅累要再掷一次“6点”才算赢，而他自己如果掷出两次“4点”也就赢了，这样一来，自己所得的应该是梅累的一半，就是说，梅累得到64个金币的2\/3，他自己得1\/3。可梅累说，即使是下一次赌友掷出个“4点”，自己没掷出“6点”，两人“6点”、“4点”各掷出两次，那金币也该平分，各自收回32个金币，更何况如果自己掷出个“6点”来，那就彻底赢了，64个金币就该全归他了。所以，他应该先分得一定能到手的32个金币，剩下的32个金币应该对半分，那么梅累自己该得到64×3\/4＝48个金币，而赌友只能得16个金币。

　　自己和赌友到底谁说得对呢？梅累迷惑地问帕斯卡。

　　就是这样一个看起来简单的问题，竟把帕斯卡这位大科学家给难住了。帕斯卡为此足足苦想了三年，才悟出了一些道理来。于是他又和自己的好朋友，当时的另外两位数学家费尔马和惠更斯展开了讨论。他们得出一致的意见：梅累的分法是对的。因为在赌博必须中断的时候，梅累赢得全局的可能性是3\/4，而赌友的可能性是1\/4。梅累一方的可能性更大。后来，三位数学家的讨论结果被惠更斯写进了《论赌博中的计算》一书，这本书被公认为世界上第一部有关概率论的著作。

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　　你明白概率是什么了吗？概率就是量化了的可能性，说得再明白点就是取胜的把握或者失败的可能性有多大。它是一个重要的数学分支，并且被广泛应用到现实生活中。

　　5.喝汤

　　每个人都有自己的口味，有人喜欢吃甜味食品，有人吃饭偏清淡，还有的人喜欢吃口味咸的东西。曹雪家里就是这样，这给掌勺的妈妈出了个大难题。

　　“妈妈！我喜欢吃咸的，把汤做得再咸一点儿吧！”

　　“别耍孩子脾气！汤怎么能做得太咸呢？”

　　妈妈准备晚饭的时候给曹雪舀了一勺汤让她尝尝味道。

　　“妈！太淡啦，一点儿盐都没放吗？”

　　于是妈妈又放了一勺盐，用汤勺在锅中搅拌了一下，又给曹雪尝了一勺。

　　“嗯……稍微咸一点了，爸爸一定喜欢喝，但是妈妈……”

　　“怎么了？”

　　“我只是喝了一小勺汤，您怎么就知道整锅汤的味道了呢？”

　　“哟！这么说来这一锅汤还都要给你喝了不成？”

　　“那倒不是这个意思……但是很奇怪呀，妈妈不是只从汤里面随便盛出一小部分吗，难道这也有道理？”

　　“当然了。妈妈只是运用了数学中‘抽样调查’的方法而已。不是有‘以一推十’这句话吗。”

　　“以一推十？”

　　曹雪不懂了。一向好学的曹雪缠着妈妈非要让妈妈讲，妈妈做好了汤开始给曹雪讲故事。

　　“所谓‘以一推十’的抽样调查就是要调查某一集体的情况，有全体调查和抽样调查两种方法。所谓全体调查，就是对群体中的每个个体都进行调查，得出最后的结果。从整体中只选择一部分进行的调查，就叫抽样调查。抽样调查就是把对一部分个体抽查的结果作为衡量整体水平的尺度。

　　“抽样调查在现实生活中应用广泛。比如它被应用在劳动力、时间、费用的节约、机械生产产品的检查、江湖海水和空气等的污染情况。

　　“把不可能通过所有个体的数据调查而得出结果的调查，变为可能的调查方法就是抽样调查。

　　“抽样调查中最重要的部分是选择合适的样本。要仔细选择可以代表整体水平的个体样本，随便选几个样本来做抽样调查是一点意义也没有的。整个数据群被称为全体，从中选出的一部分数据群被称为样本。全体和样本的关系就像‘一锅汤’和‘一勺汤’之间的关系一样。”

　　曹雪恍然大悟，她忙说：“那妈妈用汤勺在锅中搅拌后舀出一勺汤，只尝一口就能够判断出整锅汤味道的好坏。用汤勺搅拌汤，是保证随机选择样本的必要步骤。不同个体之间差距很大，或者个别个体很突出，都不利于抽样调查的进行，所以用汤勺搅拌汤是‘保持样本质量同一属性的过程’。对不对？”

　　妈妈高兴地点点头。曹雪终于明白其中的道理了。

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　　郭教授到银行取出100元钱，数到58时，他把钱放入袋中。

　　出纳问：“怎么不数完呢？”

　　郭教授说：“数了这么多都没有错，大概后面不会有错了！”

　　6.智断《红楼梦》

　　曹雪芹的《红楼梦》是中国古代四大名著之一。相传他只是写了《红楼梦》的前80回，后40回由高鹗续写。事情已经过了几百年，可是对此仍没有一个定论。

　　这个问题困扰了人们几百年，近年来，科学家试图用科学的方法来解开这个谜。

　　20年前，在美国举行的“《红楼梦》讨论会”上，有个叫陈炳藻的教授提出了一个惊人的发现：他断定，《红楼梦》是曹雪芹一个人写的，这个结论是计算机自己“算出来”的。

　　他把曹雪芹常用的句式、词语和搭配方法等，作为样本输入到计算机里面，然后把前80回和后40回做了一个比较，发现它们的联系程度有80％。由此他判断，红楼梦前后都是曹雪芹一个人写的。