第18章 数学(2)

　　你再仔细看看一个条形码，会发现一组条码的下面还有一串字符，实际上这也是条形码的一个组成部分。加入这一串人可以识别的字符，目的是考虑到当识别条形码的设备出现问题时的特殊情况下，这些字符就有用处了。它也记录了商品的信息。

　　条形码可以直接印刷到商品的包装上，而且现在它也不局限于黑色、白色了，但必须是两种对比反差很强烈的颜色才行。条码技术广泛应用于我们的生活中，几乎所有出版的图书都印有条形码，极大地方便了借阅、购书的需要。连汽车工业也有自己的条码系统呢！

　　知识点：条形码、信息、差别、光笔、字符

　　为什么地砖一般是正方形的或

　　正六边形的

　　地砖的花色品种很多，可是，它们一般不是正方形的就是正六边形的。这是什么缘故呢?

　　在正多边形中，只有三种能用来铺满一个平面，而中间没有空隙，这就是正三角形、正方形和正六边形。因为正三角形的一个角等于60°，六个正三角形拼在一起时，在公共顶点上的六个角之和等于360°；正方形的一个角等于90°，所以四个正方形拼在一起时，在公共顶点上的四个角之和刚好等于360°；正六边形的一个角等于120°，三个正六边形拼在一起时，在公共顶点上的三个角之和刚好等于360°。

　　如果用别的正多边形，就不能达到这一要求。例如正五边形的一只角等于108°，把三个正五边形拼在一起，在公共顶点上的三个角的和是108°3＝324°，小于360°，有空隙。而空隙处又放不下第四个正五边形，因为108°4＝432°，大于360°。

　　六个正三角形拼在一起，虽然没有空隙，但是它不及正方形和正六边形好看。所以在艺术设计上，一般较多用正方形和正六边形的地砖。

　　知识点：正方形、正三角形、正六边形、地砖

　　为什么大奖赛评分时要去掉最高分和最低分

　　校园卡拉0K大奖赛正在进行，一位同学唱完后，6个评委亮出了分数(10分为满分)，由小到大依次为：9．00、9．50、9．55、9．60、9．75、9．90。按评分规则，去掉最高分和最低分，将其余4个得分作平均，该同学的最后得分是9.90+9.55+9.60+9.75\/4=9．60分。

　　为什么要去掉最高分和最低分呢?这是为了剔除异常值。异常值就是过高或过低的评分，通常是由于裁判疏忽，或者欣赏兴趣特别，甚至在个别情形下有意褒贬所造成的。为了减少异常值对正确评分的影响，去掉最高分和最低分是合理的。

　　这与数学上的中位数的概念有一定的联系。什么是中位数呢?我们还是来看上面的例子，依次排列的6个数字中，处在中间的第3个和第4个数字的平均数就是中位数，即9.55+9.60\/2=9.575。

　　如果评委的人数是奇数，譬如取前5个数字，则中位数是9．55，即第3个数字。处在中位数左边的数值，只要不大于中位数，任意改变其数值，并不会改变中位数的值。同样处在中位数右边的数值，只要不小于中位数，任意改变其数值，也不会改变中位数的值。由此可知，中位数的数值不受特大及特小极端值的影响，而平均数则会受到每个数值的影响，所以，中位数有时比平均数更能反映平均水平。例如，某个班级10个同学参加某项考试，有两人旷考算0分。10个人得分依次为：0、0、65、69、70、72、78、81、85、89。则其平均数是：

　　0+0+65+69+70+72+78+81+85+89\/10=60.9

　　得65分的同学，其分数超过了平均数，按说属于中上水平了，其实不然。如果除去两名旷考的，他就是倒数第一名。这里，平均数没有真正反映平均水平。

　　那么，干脆剔除这两个异常值，按8个人平均行不行呢?当然不行。这时只有取中位数比较合适。中位数是第5名和第6名分数的平均值，即：70+72\/2=71。超过71分是中上水平，低于71分是中下水平。这里，中位数才是真正的“中等水平”的代表。

　　当然，平均数也有优点，即考虑到了每个数字的作用。而去掉最高分和最低分的评分方法，正是吸收了平均数和中位数这两种方法的优点，既去除了异常值，又发挥了大多数评委的作用，是比较合理的方法。

　　知识点：平均数、中位数、异常性、合理

　　为什么在罗马数字中没有“0”

　　世界上每一个国家的文字都是不相同的，可是它们却有一种相同的文字，不需要经过翻译，每个人都会看得懂，这就是阿拉伯数字。0、1、2……9等，这样写起来既简单方便，又容易看懂，所以各个国家先后都采用它来计数。“0”是一个奇特的阿拉伯数字，它是在1、2、3、4、5、6、7、8、9、0这10个数字中诞生得最晚的一个。世界上各国早期使用过的数学中都没有0这个字。那时，如果在记数的时候碰到了零，那就只有空上一位数字来表示。

　　估计是在公元6世纪，“0”就已经从东方传到罗马了。但即使如此传播到，它仍在很长的一段时间之中也没有能够传入欧洲各个国家。因为那些国家中通常使用的是罗马数字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ，而在原有的9个罗马数字中本来就不存在0。罗马教皇还自己认为用罗马数字来表示任何数字不但完全够用而且十全十美，他们甚至向外界宣布：“罗马数字是上帝发明的，从今以后不许人们再随意增加或减少一个数字。”0是被人们禁止使用的。

　　有一次，有一位罗马学者在手册中看到有关于0的内容介绍，他认为0对记数是很有益处的，于是便不顾罗马教皇的禁令，在自己的著作中悄悄记载了一些关于0的用法，并把一些有关0的知识以及在运算中所起到的作用暗中进行传播。

　　这件事被罗马教皇知道后，马上派人把他给囚禁了起来，并投入了监狱。教皇为此还大发脾气地说：“神圣的数，不可侵犯，是上帝创造出来的，决不允许0这个邪物加进来，弄污了神圣的数！”再后来这位学者就被施以酷刑，从此以后就再也不能握笔写字了。

　　但是，科学总是不依靠人的意志而改变，而是按它自身规律向前发展的。那些勇于保卫科学真理的数学家们经过数年刻苦艰难的探索，终于使0这个数字冲破种种阻力并得以在全国乃至世界通用了。0这个数的广泛使用甚至超过了其他任何一个数字而具备了更多独特的意义。

　　知识点：阿拉伯数字、科学、禁令

　　为什么没有最小公约数和最大公倍数

　　在数学里我们曾学过最大公约数以及最小公倍数，或许你会提出问题，为什么公约数要讲最大，但公倍数却又讲最小呢?是否有最小公约数和最大公倍数呢?假如有的话，为什么不讲呢?

　　我们首先从一个具体情况来看：

　　例如有正整数16和24，它们有很多公约数，就是：1、2、4、8，它们的最大公约数是8，最小公约数是1。

　　再看正整数15和56，它们都只有一个公约数，就是1。我们从这里能看出，任何两个正整数，总会有公约数1，且1总是它们的最小公约数(公约数总是只讲整数的)。两个或两个以上的数，它们的最小公约数既然总是1，就不必讨论了。这也就是我们不谈最小公约数的道理。但这并不是主要的道理。主要的道理在哪里呢?

　　我们学习数学，主要的目的是，必须要数学知识为我们服务，而不只是拿数学知识做游戏。两个正整数的最大公约数，在分数约分里是用得到的。通过约去分子分母的最大公约数，我们就能把一个分数化成最简分数。这样就相当简单了。而最小公约数1，却没有什么用处。这就是我们不研究最小公约数的原因。

　　那么，两个正整数是否有最大公倍数呢?例如有两个正整数16和24，它们的最小公倍数是48。显然48乘上任何整数之后依然就是16和24的公倍数。

　　例如48×2=96，48×3=144，48×4=192，48×1000=48000等都是16和24的公倍数。由于自然数没有最大的数，因此也就没有最大的公倍数。

　　实际上，在分数通分的时候，也只须用到最小公倍数。假如用较大的公倍数，还不方便。既然没有最大公倍数，也不需任何较大的公倍数，这就是我们只研究最小公倍数的原因。

　　知识点：公约数、自然数、通分

　　为什么有近似值

　　有的时候可能有人将问你：“你们年级有多少位同学呀?”你并不知道确切的数字，可你知道你班上有35位同学，共有4个班，因此你会说：“大概140名吧！”这时你所给出的数字便是近似值，由于你不知到底有多少位同学，所以就用近似值取代了准确值；并且你的分析也十分正确，年级中总共有143位同学，你所给出的近似值与准确值是十分接近的。近似值是相对于准确值而说的。它非常接近准确值却又绝不是准确值。而在我们的日常生活当中，近似值是广泛应用的，由于有的时候我们不需要十分严格、确切，使用近似值完全能够行得通。

　　若问到一个人的年龄时，人们大多只说多少岁，而不用说某年某月某日出生。除了是遇到了同年出生的人，才会用到某年某月某日出生。若人们问时间时，回答的人也一般只说几点几分，而不会精确到几秒；但问路时，回答的人也会说大约200米、500米这样的话，根本没法准确地说出多少米，况且问路的人也绝不会因为听到的是近似值而不满意的。

　　可是有的时候使用近似值却是完全行不通的。像收音机里每一小时的报时的信号，和真正准确的时间只差千分之几秒，因此远洋航行的轮船就能根据这个信号来确定自己的位置。像发射导弹、定向爆破的定位装置，都必须严格地计算角度、炸药用量的数字，不然真是差之毫厘，谬以千里，结果是不堪设想的。

　　那么何时使用近似值，何时使用准确值呢?这要看实际问题的需要，以实际问题的需要来决定应该准确到何等程度。

　　像谈论年龄，我们仅准确到年；但谈论时间，一般都要准确到分钟；但体育比赛的结果，便要精确到秒了。

　　因此在各类不同问题中，量的准确选择是绝对不同的。正像量布的长度和测量公路长度所要求的准确度是完全不一样的。

　　知识点：人数、年龄、时间、实际

　　为什么游泳圈也叫救生圈

　　只要游过泳的人便都有过使用游泳圈的记忆，当你套上五彩缤纷的游泳圈在水里游泳、嬉戏的时候，你是否想到过，游泳圈的浮力有多大呢？为何它能把一个人托在水面上呢?而它的浮力是如何计算的呢?用数学知识我们应该知道，若把游泳圈充满气之后的体积，乘以水的密度，然后再减去游泳圈自身重量，再乘以常数g(9.8），得到的结果便是游泳圈所有的浮力。

　　水的密度一般在计算中可以取每立方厘米l克，即，每立方厘米的水的质量是1克。下面，我们看看游泳圈的体积如何计算。

　　要先把游泳圈充好气，然后再用有刻度的直尺来测量一下下面三列数据：①环形的宽度w，它是游泳圈的环的宽度，要注意，在测量的时候要让尺的延长线通过游泳圈的中心轴线，测量出的数据会比较准确。②游泳圈的高h。让游泳圈平放在地上，量出它的高度。③充好气之后游泳圈的内径为r。有了这三个数据后，游泳圈的体积便可以按下列公式计算出：Ｖ＝1／2ππwh（r+1\/2w）。

　　其中π为圆周率，取π=3．14，w、h、r分别为充气之后游泳圈的环宽度、高度与内径长度。让我们来具体计算一下。市面上出售的一种没充气时最外边的圆直径是75厘米的塑料游泳圈。充足以后量得环宽w=17厘米，环高h=13厘米，环内径r=15.5厘米，自重为170克。把这些数据代到计算公式里就可以得出Ｖ＝1／2×3.143×.14×17×13（15.5+17\/2）=26148立方厘米。

　　这样，这种游泳圈所具有的浮力大约是254.5牛顿（■×9.8）。

　　因为人在水中也受到来自水的浮力，若再加上游泳圈自身的浮力，便会把人托出水面，因此游泳圈也叫救生圈。

　　知识点：浮力、宽、高、内径

　　为什么汽油桶、热水瓶是圆柱形的

　　汽油桶、热水瓶等，都是用来装液体的容器。不知平时你注意过没有，装液体的容器，大都是圆柱形的。这是否有数学方面的道理呢?有的。

　　我们生产一件容器，都希望可以用最省的材料，来装一定体积的液体。或者说，用同样的材料，做成的容器的容积最大。

　　在平面几何里，我们学过计算圆面积以及一些正多边形的面积或周长的方法。例如：一个面积为100平方厘米的正方形的周长是40厘米；而同样面积的正三角形的周长大约等于45．6厘米；而同样面积的圆的周长只有35．4厘米。也就是说，面积相同时，在圆、正方形与正三角形等图形中，正三角形的周长最大，正方形的周长比较小，圆的周长最小。因此，装同样体积的液体的容器中，假如容器的高度一样，那么，侧面所需的材料以圆柱形的容器最为节省。所以，汽油桶、热水瓶等装液体的容器，都是圆柱形的。

　　有没有比圆柱形更为省料的形状呢?有的。依据数学原理，用相同的材料做的一些容器中，球形的容器的容积总要比圆柱形的大。就是说，做球形的容器，能节约材料。但是，因为球形的容器易滚动，而且放不稳，它的盖子也不容易做，因此不实用。

　　放固体的容器，例如盒子、箱子、柜子等，为什么不去做成圆柱形的呢？尽管做圆柱形的容器相当省料，然而装起固体东西却不经济，因此通常把它们做成长方体的。

　　知识点：液体、容器、节省

　　为什么照相机用三角架而不用四角架

　　你肯定见过照相机所专用的三角架，它伸出来三条长长的腿，稳稳地托住上面的照相机，使拍出来的照片将不会因为拍摄者手的轻微移动而变模糊。除了照相机的三角架外，拍电影所用的摄像机也都有一个三脚架，往往脚上还有副轮子，以方便摄像机的移动。

　　在我们生活中有四只脚的东西也很多，像桌子、椅子和各种鞋架子、超市里的货物架等等，不是都很稳当吗?为何照相机却不用四脚架，而用三脚架呢?

　　这是由于照相机利用了一个很重要的原理：不在同一条直线上的三个点，能确定一个平面，而且只能确定这一个平面，也就是说，那个平面是惟一性的，只可能有一个，绝对不可以有第二个。照相机的三个脚便构成三角形的各个顶点，它们不在同一条直线上，若按照上面的性质，这三点刚好构成了三脚架底面的惟一平面，三脚架上边的照相机便稳当地固定在这个平面上，因为是惟一的平面，照相机才不会晃动，不会影响拍摄的效果。

　　在生活当中，我们也有这样的经验：有时候因为地面不平整，椅子的一只脚总上下地动，一会向上，一会向下，让坐在上面的人很不舒服。由于不在同一条直线上的三个点构成一个惟一平面，但椅子都有四个脚，相当于有四个点了，它们中的三点便构成了一个平面，剩下的那个点便可能在这个平面上，也可以不在这个平面上。若椅子的第四个脚不在另外三只脚构成的平面上的时候，这只脚便会悬着，椅子便晃了。