第17章 数学(1)

　　为什么国家强盛必然数学先进

　　从历史上看，在一个国家经济发展、国力强盛之时，数学水平必然会随之上升，这个国家就成为数学强国。17世纪英国进行产业革命，牛顿也在数学和力学上做出了革命性的贡献。资本主义大生产使法国的拿破仑政权十分强大，当时的数学中心便移到法国去了。19世纪下半叶，德国后来居上，生产水平超过法国，数学界也出现了像高斯这样的大数学家，数学实力渐渐在法国之上。20世纪初，美国工业经济发展异常迅速，数学在1930年开始雄踞世界首位，普林斯顿高等研究院成了世界数学中心。另一方面，前苏联在20世纪中叶成为超级大国，莫斯科大学的数学水平可以和普林斯顿相媲美。冷战时期，世界数学的格局是前苏联和美国领先，西欧紧随其后，日本则迎头赶上。

　　数学是科学发展的基础。经济发达了，科学技术进步了，就会提出许多重大的数学问题，鼓励数学家进行创造。强大的国防力量，也需要数学工作加以支持。人们常说，在信息时代，许多高科技说到底乃是一种数学技术。

　　中国是有优秀数学传统的国家，随着中国国力的增强，中国的数学水平也在迅速提高。我国的数学家为原子弹、氢弹、人造卫星的研制做出了重要贡献。与此同时，中国的纯粹数学研究也在大步前进。陈景润的“哥德巴赫猜想研究”以及其它一些分支的研究成果，已经达到世界领先水平。在国际数学家联合会里，中国(含台湾)是有5票投票权的数学强国之一。但就整体实力而言，中国的数学研究实力还达不到世界一流水平。所以，中国数学家有一个雄心壮志：使中国成为21世纪的数学大国。要实现这一目标，还需要几代人共同努力。希望寄托在未来的年轻一代身上。

　　知识点：数学、基础、实力

　　为什么要学好数学

　　从我们上小学一年级开始，直到高中三年级，这十二年的时间中，年年都要学习数学。在中小学课程中，数学、语文、外语并称三大主干课，世界各国都是如此。这主要有三方面的原因：

　　数学和语文、外语一样，也是一种语言，它是科学的语言。它使用数字、符号、公式、图像、概念、定理等位置关系，对于人类认识世界、探索未来起了很重要的作用。不懂数学，就不能理解科学。

　　数学对于培养、训练人的理性思维十分有益。如果说语文能用来表示人的感情、愿望、意志、进行形象思维的话，那么数学主要用来进行概括、抽象、推理和论证等理性思维。数学严格精确、从不含糊，对于培养人的思维能力是必不可少的。

　　数学用途广泛。小至上街买东西，大到设计飞机、火箭，控制卫星运行，全离不开数学。而且一个国家数学水平的高低，反映了国家是否强盛。它是科学发展的基础，它的发展进步，推动了科学技术的向前发展。

　　有的同学并不喜欢学习数学，常常是为了应付考试才去努力学习。其实中小学课本中讲授的数学知识都是数学的基础内容，是今后生活、工作、学习中心不可少的，如加减乘除，要反复计算，做起来很枯燥，但实际上哪里都能用上，买东西算账、丈量土地、做设计，哪一样又能离开数学呢？

　　数学是研究数与形的科学，凡是有“数量大小”和“形状位置”的事物都离不开数学知识。因为数学具有抽象性的特点，所以看上去干巴巴，很枯燥，但它往往会出人意料地不知在什么地方派上用场，让你大吃一惊。

　　知识点：数学、语言、理性思维、用途

　　为什么说0的意义不是没有

　　上学以后我们最先学习的是算术课，便认识了0这一数字，它可能是你所学过的最小的数字了。那么0是什么含义呢?若用手指数铅笔盒内铅笔的数目，1代表一支铅笔，则0便表示无铅笔，0的意思便是没有，若你学过减法，而10减10等于0，意思是说减没了，好像10个苹果让人吃掉了，最后一个不剩。看来0确实表示没有。

　　平常0是表示没有，可是它的意义不只表示没有，有时有其他的意义。

　　在人们日常生活当中，天气的冷热程度用气温来表示，它随着一年四季的交替而不断变化。像0摄氏度表示什么含义呢?它表示冰和水混合在一起的那个温度，自0摄氏度以上为零上，零上17到22摄氏度即最适于人类生活的温度；自0摄氏度向下则称为零下，零下温度，绝对值越大，则越寒冷。

　　再像在计算机内使用的0与1就不是算术上的0与1了，它分别代表电平的高低状态，1表示高电平，0表示低电平，这时0绝对并不是没有，却是一种相对较低的概念。

　　还有许多例子都能说明0在生活中有许多含义，不只表示算术内的没有。实际0本身一样充满了矛盾。像任意多个数与0相加，0并不可以改变它们和的值；但许多个数相乘时，只要其中有一个数若是0，它的乘积就是0，看0的威力有多么大啊。要解决这样的矛盾问题，我们一定要知道数学上的概念都是相对的，绝不是不变化的，0也是这样。

　　0在数学上是一个十分重要的数字，0至1的飞跃便体现了自无到有的过程，而1至百、千、万的变化也体现了很多的不同。0不只表示“没有”，而为“有”奠定了基础。但在生活中0较多地表示一种状态，为0以下与0以上的状态提供了可参照的标准，它的含义并不是“没有”能说得清楚的。

　　知识点：没有、意义、含义、状态

　　为什么1+1可以等于1

　　我们初学算术时，就已知道1+1=2了，这是确定无疑的。假如有人做加法而1+1的答数不是2，那就要得0分。但是，当我们学到了二进位制的计数法后，就知道在二进位制里1+1：10而不是1+1＝2了。由于在二进位制里，根本就没有2这个数字。

　　现在这里又写了这样一个等式1+1＝1。到底是什么道理呢?这叫做逻辑代数中的加法。

　　在逻辑代数里，也与二进制数一样，我们只有两个符号：1和0。但是二进位制数里的1，确实表示一样东西1，1是真正的数。0则表示没有，它也是真正的数字。而且在逻辑代数里，1和0并不是数字而是符号。在一般的逻辑电路中，1表示电路是通的，0表示电路是断的。

　　例如有一个电路：在这个电路里，E是电源，例如是几只干电池。P是一只小的灯泡。电路里通了电以后，小灯泡P就发光，这个时候的符号是1。电路里断了电以后，小灯泡P就不发光，这个时候符号是0。

　　A和B就是两个开关。按上了就通电，拉开了就断电。现在假如开关A按上，开关B拉上。那电路通过开关A接通了，灯泡P亮了，得1。

　　假设开关A拉开，开关B按上。那电路通过开关B接通了以后灯泡P亮了，也得1。

　　现在假如把开关A及开关B都按上，两条电路全接通了，那就应该是1+1了。但是灯泡P只可以发同样的亮光。所以也还是1。

　　因此，用数学式子来表示，就得1+1=1。

　　从这几个情况来看是完全正确的，开关A按上了是1，开关B按上了也是1，开关A和B一起按上了还是1，这究竟是为什么呢?

　　这就叫逻辑代数的加法。

　　在我国四个现代化过程中，逻辑代数这样的数学知识会慢慢变为人人都应该知道也能了解的常识了。从逻辑代数里，我们可以知道，0和1，并不只是代表数，而是代表一种情况。因为有许多有关数字计算习惯用的法则，在逻辑代数里就会发生一些新的概念。

　　数学家可以很成功地把楼梯开关的种种情况，通过一个数学式，变成0及1，并且还组成有趣的逻辑关系。我们日常在使用着的楼梯开关竟与数学密切的联系起来了，你想到过吗?

　　知识点：二进制、逻辑代数、加法

　　为什么会有“+－×÷=”这些符号

　　+、－、×、÷以及=这五个符号，小学生和学前幼儿也已懂得它们的意义以及用法，在高等数学里当然少不了它们。但是它们的来历确实经过了一段十分曲折的发展道路。

　　古希腊与印度人不约而同，都把两个数字写在一起，表示加法，如3+1／4就写成了31／4。直到现在，从带分数的写法中还可能看到这种方法的遗迹。

　　若要表示两数相减，就把这两个数字写得离开一些，如6-1\/5的意思就是6-1\/5。

　　于是后来，有人用拉丁字母的P(Plus的第一个字母，意思是相加)代表相加；用M(Minus的第一个字母，意思是相减)代表相减。如5P3就表示5+3，7M5就表示7-5。到中世纪后期，欧洲商业开始变发达。许多商人常在装货的箱子上画一个“+”字，表示重量超过一些；画一个“-”字，表示重量还不足。文艺复兴时期，意大利的艺术大师达芬奇在他的一些作品中也采用过“+”和“-”的记号。公元1489年，德国人威德曼在他的著作中开始正式用这两个符号来表示加减运算。到了后来又经过法国数学家韦达的大力宣传以及提倡，这两个符号才普及，到了1630年，最终获得大家的公认。

　　在我国，以“李善兰恒等式”闻名的数学家李善兰，也曾用“|”表示“+”；用“▲”表示“-”。因为当时社会上普遍使用筹算以及珠算来做加、减、乘、除，所以还没有创立专用的运算符号。

　　后来人们开始采用了印度数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0(叫阿拉伯数码，但发明者却是印度人)，同时也采用了“+”和“-”的记号。至于×÷符号的使用，大约也不过300多年。传说英国人威廉·奥特来德于1631年在他的著作上用“×”表示乘法，于是后人就把它沿用到今天。

　　中世纪时，阿拉伯数字十分发达，还出了一位大数学家阿尔花拉子密，他曾经用“3／4”表示3被4除。大多数人认为，现在通用的分数记号，来源就是出于这里。至于“÷”的使用，能追溯到1630年一位英国人约翰·比尔的著作。人们估计他大概是根据阿拉伯人的除号“-”与比的记号“=”合并转化而成的。

　　在国内，人们也曾把单位乘法叫“因”，单位除法叫“归”，被乘数叫“实”，乘数叫“法”，乘的结果叫“积”。在除法中，尽管被除数与除数也叫“实”与“法”，但他们相除的结果，却叫“商”。

　　现代许多国家的出版物中，都是用“+”、“-”来表示加与减，“×”、“÷”的使用则远没有“+”、“-”来得普遍。如，一些国家的课本中用“·”来代替“×”。在苏联或德国出版物中，很难看到“÷”，大多用比的记号“=”来代替。实际上，比的记号的用法可以说与“÷”号基本一样，可以不必再画出中间的一条线。所以，这个“÷”号，现在用得越来越少了。

　　在这些符号当中，等号是相当重要的。巴比伦以及埃及曾用过各种记号来表示相等，但是最先得到公认的，是古代大数学家丢番图的记法esti和isas，简写为is。它们在中世纪，用来表示相等的记号有过特别大的混乱。第一个使用近代的“=”号的是雷科德的名著《智慧的磨刀石》，但“=”号直到18世纪才被普及，当时“=”号的两条线的长度经常被画得相当长。雷科德也曾说，他选择两条等长的平行线作为等号，原因是因为它们再相等不过了。

　　知识点：来历、记号、公认、普及

　　为什么要“先乘除，后加减”

　　为了防止四则混合运算时相互发生混淆，使计算得到一个已经确定的结果。人们先后结合生活和实际生产的各个需要，在四则混合运算中明确规定：要“先乘除，后加减”。为什么科学家会如此规定呢?因为这样规定是有一定道理的。它的理由如下：

　　1．这样规定运算顺序，更加符合生活实际需要。请看下面例子。

　　例1：王大妈到布店买了3米红布，每米红布17．8元，又买了2米白布，每米白布20．50元，买这些布一共需要用多少元钱?

　　列成算式：17．8×3+20．50×2

　　按照实际买布情况。先算出买红布和白布各要付多少钱，然后算出一共要付多少钱。即应先算乘法，再算加法。

　　例2：一车化肥10吨，分给ABC三个队，平均每队分3吨，还剩下几吨化肥?

　　列成算式：10-3×3

　　我们于是结合实际的那种情况，必须先算出一共分了多少吨化肥，于是得到“3×3”，然后用总数减去已分的吨数，就得出还剩下多少吨，即再算减法。

　　人们在生活和实际生产中，也会遇到先加减后乘除的一些问题，但是这比先乘除后加减的问题少多了。

　　2．在含有字母的式子中，我们会发现用乘、除号相互连接的算式，例如：x4、b÷5等可以被表示为4x、1\/5b这些都可看做一项，而用加减号连接的式子，例如a-5、b+4等则分别表示两项。

　　通常在计算时，我们会把一项看成一个数，这样看来可使计算变得简便。

　　例如我们解方程式：4x-56＝66，可以把4x看做是一个被减数来解此方程。这种规定可以大大简化计算过程，提高计算效率，节约计算时间。

　　3．从数学的发展形式上可以看到，加减法是最基本的运算，它们是数量变化的最低级的表现形式，先有加减法。乘除法是在加、减法经常运用的基础上产生和发展的。相同的数字连加产生乘法，相同的数字连减产生除法。

　　由此可见，乘除法比加减法更高级，在计算效率上比加减法更为提高一个新高度，所以我们把加减法看做第一级运算，把乘除法看做是第二级运算就是这个意思。这种类似的例子在实际运用中举不胜举。这里不再一一列举。

　　综上所述，运算顺序的规定是人们在生产和生活实际基础上，以及为了使计算更为简单化而产生的，所以这种规定是完全合理的。

　　知识点：生产、生活、简单化、实际、提高

　　为什么能从商品的条形码上

　　读出商品的价格呢

　　大超市里的各种商品上都贴着一组平行排列的、宽窄不一的黑白条纹，这就是条形码。付款的时候，商场里的收银员用一种特殊的设备在商品的条形码上一扫，商品的名称、价格等信息就读到计算机里去了，真是又简单又快速，太方便了。不知你想过没有条形码为什么能存储商品的价格信息呢？

　　条形码是由黑色和白色的条纹组成的，但是这些条纹本身的长度和宽度并不一样，有的宽些，有的窄些，有的还要长一点。请你仔细观察几个不同商品的条形码，虽然它们表面上看起来很相似，但它们绝对是有差别的，我们肉眼也能看得出来。其实这些条纹的长短、粗细、颜色的变化代表了商品的信息。正如我们以前使用数字表示商品的名称（如C91代表铅笔）和价格（如铅笔的价格是0.50元）一样，那么同在由于计算机技术的发展，我们使用条形码来表示这一切，本质上是一样的，只是表示的方法不同了而已。

　　条形码的出现计算机科学的发展密不可分，它是由于计算机的普及而产生的新型技术，也称为条码技术。条形码表示的信息只须能使用计算机设备来读取，收银员用来扫条形码的设备是光电阅读设备，也叫光笔。当光照到条形码上时，黑白条纹产生很大的对比，从而转化成不同强弱的电流，计算机根据电流和信号的不同查找保存在存储器里的数据，就得到了商品的信息。奇妙的是从左到右或从右到左扫描条形码都可以，读出的信息是一样的。条形码的出现，提高了工作的效率，也保证了信息传递时的准确无误。