第66章 代数的故事(1)

　　1.探究“代数学”

　　1400年前，花拉子模生活在波斯北部一个叫花拉子模的城市，他也因此而得名。他出生在商人家庭，从小就有机会跟随父亲的商队到处游历，先后到过印度、阿富汗等国，后来在巴格达定居。由于游历甚广，他对这些国家的科学非常了解，而且精通天文、地理、数学等，因此担任了阿拉伯王朝的官员。

　　花拉子模生活在阿拉伯王国最强大的时代。当时，阿拉伯正在不断对外扩张，它的版图横跨欧、亚、非三个大洲，中国的史书上把它叫做“大食国”。大食国吸收外国的文化，把希腊、波斯和印度的书籍都翻译成阿拉伯文。花拉子模就在这些条件下研究“代数学”。

　　花拉子模写了一本书，叫做《代数学》。在这本书里他讨论了方程的解法，第一次给出了二次方程的一般解法。还把方程的解叫做“根”，这个说法一直用到现在。

　　后来，这本书传到欧洲，有个叫罗伯特的科学家把它翻译为“还原与对消的科学”，也叫做“方程的科学”。这就是拉丁文里面的“代数学”。这样，欧洲的数学家们也了解了代数的知识，后来还有很多人不断地去研究它。

　　在中国，“代数学”这个名称最早出现在1859年，那个时候还是清朝。中国数学家李善兰和一个英国数学家一起，翻译了英国的代数学方面的一本书，当时就定名为《代数学》。还指出了，所谓代数学，就是用符号来代表数字的一种方法。

　　花拉子模为代数学的产生起了非常重要的作用。《代数学》不仅是一部非常伟大的作品，而且是世界人民共同的财富。

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　　一个无赖在街上逛了半天，感觉非常饿，于是就吃了一些东西，可又感觉特别渴，便走进了一家汤店。

　　他找了一个位子坐下，然后大声叫道：“小二，来碗鸡汤。”小二听了很快就端上了一碗香喷喷、热乎乎的鸡汤，并且对无赖说：“每碗十二文。”无赖冲着小二瞪大了眼睛说：“我有的是钱！”

　　然后他慢慢享用起鸡汤来。直到碗里还剩一点。这时小二走过来，说：“付钱。”无赖甩出了十文钱，小二一看急了，说：“我刚刚不说了，一碗汤十二文，你怎么给十文呢？”无赖又冲着他说：“我的汤都喝了吗？没有，我只喝了十二分之十，一碗汤十二文，所以我给你十文呀！”说着，无赖拍着屁股走出了汤店，小二还傻乎乎地站在那儿想呢！

　　2.诸葛亮点兵

　　诸葛亮机智过人，精通天文、地理、数学等各种科学。他被刘备重用，掌管大小事物。

　　一天，诸葛亮去校场清点兵马。士兵们整整齐齐排好队，鲜艳的旗帜迎风招展，等着诸葛亮到来。这时诸葛亮手持羽扇，好威风，昂首阔步登上点将台。随从们站在边上，听着诸葛亮发令。

　　诸葛亮胸有成竹，手执令旗，调遣军队。只见诸葛亮呼啦啦把旗一挥，发出信号。士兵们的队形马上发生了变化，排成3列横队，前后对得整整齐齐。诸葛亮默默记下了不足3人一排中余下的人数。接着，诸葛亮的令旗又一挥，士兵们排成5列横队，每五人一排也对齐。诸葛亮又记下最后一排不足5人的数。最后，诸葛亮再变一次队形，把整个军队变成7列横队，每七人一排也对齐。诸葛亮再数了不足7人一排中的人数。诸葛亮就根据这三个数，算出缺席士兵的人数，看上去很容易，很快就完成了。

　　不过随从心里有点纳闷，这样真行吗？有一位冒失者就问道：“大人，您已经点清了吗？”

　　这位随从把诸葛亮的答案拿来一对，确实不差，于是接着问：“请问您是怎样点兵的？”

　　“这不是我诸葛亮的发明，你去仔细读读《算经十书》这本书就知道了。”

　　这位随从后来发现，《算经十书》中的《孙子算经》中确实有一道题，与诸葛亮点兵的方法相同，大致意思是这样的：

　　有一堆东西，个数不知道。不过，三个三个一数，剩两个；五个五个一数，剩三个；七个七个一数，剩两个。请问一共有多少个？

　　这个问题的解法在书中也有详细的阐述。后来，欧洲人高斯也发现了类似的定理，但要晚一千多年。人们把这类问题称为“中国剩余定理”或“孙子定理”。中国古文明的火花闪烁出夺目的光辉。不仅如此，明朝数学家程大位还编出一首歌诀，通俗易懂：

　　三人同行七十稀，

　　五树梅花廿一枝，

　　七子团圆正半月，

　　除百零五便得知。

　　这首歌诀说的是：把除以3的余数乘70，把除以5的余数乘21，把除以7的余数乘15，然后全加起来减去105的倍数或加105的倍数。

　　这些问题应用到很多方面，看来在很早以前，人们就发现了这样的数学问题。

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　　老师讲完交集、并集的概念之后，提问学生：

　　（1）设A={x|x是参加百米赛跑的同学}，B={x|x是参加跳高比赛的同学}，求A∩B。

　　（2）设A={x|x是第三农场的汽车}，B={x|x是第三农场的拖拉机}，求A∪B。一学生答道：

　　（1）中A∩B={x|x是参加百米障碍赛的同学}。

　　（2）中A∪B={x|x是第三农场的联合收割机}。

　　3.三坏蛋偷鸡

　　为了节省空间，便于看护，人们喜欢把鸡和兔子放在一只笼子里。

　　由于人们对自家鸡兔严格看管，黄鼠狼、狐狸、野狼已经有很长时间没吃到东西了。为了找到食物，三个坏家伙又聚到一起了。

　　黄鼠狼说：“我都多日没吃过一顿饱饭了，再这么下去就要饿死了。村子里那么多的鸡和兔子，无论如何我都要偷一些出来，香喷喷的兔肉把我都馋死啦。”

　　这个提议得到狐狸和野狼的欢迎。它们决定偷偷地潜入村里，给自己的胃里增加点油水。

　　狐狸和黄鼠狼私交甚好，因此它俩一致推举野狼去执行这次的任务。这俩一个劲地恭维野狼的强壮、勇猛。

　　几句恭维话说得野狼美滋滋的，狼一甩尾巴说了句：“包在我身上了！”直奔村里去了。

　　村里静悄悄的，狼看到所有的笼子中间都钉有木板，看不到猎物的身子，只能看见晃动的头和立在地上的脚。

　　狼跑回来和两个伙伴商量说：“我看不清有多少只兔子和鸡，只能看到它们的头和脚，这可怎么办？”

　　狐狸想了一下说：“没关系，你只要数清楚有几个头和几只脚，我俩就能算出有几只兔子、几只鸡。”

　　不一会儿，狼就回来了，气喘吁吁地说：“我数出来了，在村北的一个大笼子里有22个头，72只脚。”

　　狐狸问：“数对了吗？”

　　野狼回答：“没错，我数了三遍。”

　　狐狸在地上用树枝算了算，说：“笼子里有14只兔子，8只鸡。”

　　黄鼠狼听说有14只兔子可高兴了，催促说：“咱们快去偷吧。对了，你是怎样算出兔子数的？”

　　“这个容易。”狐狸说，“一共有22个头，假定把兔子也算作两只脚，这样22只鸡和兔都长有两只脚，共有22×2＝44（只）脚。从72里减去44，剩下的就是每只兔子另外那两只脚的总数，再除以2呢，不就是兔子的数了吗？从总数减去兔子数就得鸡数。”

　　野狼佩服地点点头：“老弟真是老谋深算，难怪人家都叫你‘狡猾的狐狸’呢！”

　　三个黑影向村里奔去。打前锋的野狼早就饿红了眼，它走到笼子跟前，被早已埋好的夹子夹了个正着。它痛苦地嚎叫起来，狐狸和黄鼠狼见大事不妙，刚想往回跑，就被早已埋伏好的村民抓了个正着。三个坏家伙全部被抓到了，得到了它们应该有的惩罚。

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　　上午第四节课，小于肚子饿，无心听课，坐在位子上呆呆地想着牛肉、面包。

　　数学老师发现他走神，便提问他：“1.130小数点向右移动一位，将会怎么样？”

　　小于毫不犹豫地回答：“将会开午饭！”

　　4.不会说话的主人

　　很久以前，一个村庄里有一个远近闻名的财主。他从不思考自己的话，为此得罪了不少人。

　　有一天，他设宴请客，桌上摆满了鸡鸭鱼肉、山珍海味。客人来了不少，可是他希望能来的几个人物却没来，他非常失望，就不假思索，自言自语道：“该来的怎么还不来呢？”

　　在座的客人们一听，心里凉了一大截，大家以为他不欢迎他们的到来。一半的人饭都没吃就走了。

　　他一看，这么多人不辞而别，心里十分着急，又不假思索地说：“啊！不该走的倒走了！”

　　剩下的人听了，心里十分生气，“他这么说，是当着和尚骂秃贼。这么说，我们是该走的了！”于是，又有2\/3的人不告而别。

　　现在剩下的客人没几个了，财主更着急了：“这，这，我说的不是他们啊！”

　　剩下的3个客人听到主人这么说，还能坐得住吗？“不是说他们，那当然是说我们啦！”剩下的3个人也都气冲冲地打道回府了。

　　结果，宾客全部跑光了，只剩下主人一人干着急。

　　财主无意间气走了所有的客人，在他说第一句话以前，已经有几个客人到场？列个一元一次方程解一下答案就出来了。

　　设原有客人为x，则：

　　x\/2+2\/3×（x\/2）+3=x，

　　∴x=18。

　　所以，他曾有过18位客人。

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　　数学老师：“现在，我们可得出结论，X等于零。”

　　学生：“唉！算了这老半天，都白费工夫了！”

　　5.爱因斯坦解惑

　　爱因斯坦从小聪明好学，可是，他非常讨厌当时学校军事化的管理，逃学就成了他常有的事。一天，他又逃学了，跑到工程师雅谷布那儿去玩，工程师很喜欢这位聪明伶俐的少年。此时，爱因斯坦对数学有浓厚的兴趣。他很想请教雅谷布几个问题。

　　“叔叔，代数学了有什么用呢？”爱因斯坦面露愁容，突然发问。

　　看着爱因斯坦迷惑的目光，雅谷布不知如何给他讲才能让他理解。

　　想了一会儿，他找到一个很好的方法来解释。于是，他开始给爱因斯坦讲一个故事。

　　从前，有一个偏僻的山村。有段日子，村里闹狼，弄得鸡犬不宁。人们恨之入骨，几次进山搜捕，都没有找到狼的踪迹。

　　初冬，下了一场雪，一条贪婪凶残的大灰狼又闯进村子，被人们发现后仓皇逃跑。村里的猎手拿起猎枪，沿着狼的足迹，踏雪追踪。

　　“啊，有洞！”猎人警惕地握紧手中的猎枪，一步一步地逼近洞口。

　　“呜……”洞内发出阵阵吼声。这是大灰狼在向猎人示威。

　　“砰！”一枪射向洞内。

　　“嗖！”一声，大灰狼突然从洞中冲出，夺路而逃。

　　“砰！”又是一枪，正好击中大灰狼的后腿。

　　大灰狼倒下了，被猎人用绳子死死捆住，一点也动弹不得。

　　大灰狼被捉住了，大家非常感谢猎人，赞扬他为民除害，做了一件好事。

　　这个故事深深地吸引了小爱因斯坦的注意力，但是他并不知道这和代数有什么关系。

　　爱因斯坦感到工程师并没能回答他的问题。这时雅谷布继续说：“我们代数里也有‘大灰狼’，方程里的未知数x就是我们要逮的‘大灰狼’。”

　　“捉大灰狼不容易，解方程也不简单。去分母，脱括号，移项，合并同类项等等。可是当你经过一番努力，求出方程的解以后，你就会感到有一种说不出的满足和愉快，正好像猎人逮住大灰狼时的心情一样。”

　　爱因斯坦迷惑的眼睛突然放出了光，他不再迷惑了，他知道了什么是代数学，并且深深地喜欢上了它。如果没有数学的帮助，他不可能成为伟大的物理学家。

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　　数学老师问小汤米：“如何把5块土豆分给6个人呢？”

　　“这好办，做成土豆泥，再分！”

　　6.用数学计算星期几

　　古巴比伦人发明了星期的说法。他们把火星、水星、木星、金星、土星、太阳、月亮加在一起，制定出了月曜日（星期一）、火曜日（星期二）、水曜日（星期三）、木曜日（星期四）、金曜日（星期五）、土曜日（星期六）、日曜日（星期日）。

　　这种用周来划分月份的方法，为人们制订计划提供了更好的工具。

　　可是一个星期有7天，你能算出从今天开始100天以后是星期几吗？

　　如果一天天地数，中间十有八九会出错。这时如果能够找出日历当中隐藏的数学知识，这件事就会变得很简单了。

　　首先想一想今天是星期几，之后把“一周有七天”记在脑子里，不管是100天后、1000天后，还是345天后，想要知道那天是星期几，这个问题就会迎刃而解。

　　“今天是星期五，那么100天之后的那天是星期几呢？”

　　如果今天是星期五的话，14×7=98，98天后的那天还是星期五，100天后的那天就相当于星期五再过两天，那就是星期日。

　　1000天后的那天是星期几也可以利用同样的方法进行计算。1000÷7=142.85……虽然不能整除，但我们可以知道142×7的结果在1000之内；142×7=994吧？如果今天是星期日，那么994天后也是星期日，再向后数6天，1000天后的那天是星期六。

　　利用同样的方法，“1000天前的那天是星期几”这样的问题也可以不在话下了。如果今天是星期六，那么994天前就是星期六，那么1000天之前就应该是星期六之前的第六天，也就是星期日。

　　你看懂了吗？自己写一个数字测验一下，看看和日历上的星期是否相同。

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　　数学课上，老师说：“一座殿堂位于山的最高处。通向殿堂的路上有5个平台。平台与平台之间有20级台阶。孩子们若要到达殿堂需要登上多少级台阶呢？”

　　“要登上所有的！”小卡洛尔赶忙回答。

　　7.挑战出来的奇迹

　　一场激烈的数学竞赛，推动了一个伟大的发现——一元三次方程的求根公式。参加数学竞赛的两个人分别是塔塔利亚和菲俄。