第68章 几何的故事(1)

　　1.优秀的正方形

　　你知道哪个图形用处最多、功劳最大吗？为了找到答案，图形王国的伙伴们举办了一次大会。

　　参加比赛的有直角三角形、等腰三角形、平行四边形、长方形、菱形和正方形。大家轮流上台介绍自己的优点和用处，气氛十分热烈。

　　每位成员的演讲都很精彩，这让大家很难取舍，不知道谁是最有用的图形。

　　轮到正方形了，它走上台，说：“我结合了很多图形的优点。我属于平行四边形，对边平行且长度相等；我还属于长方形，四个内角都是90度；我还属于菱形，四条边的长度都相等。我吸收了它们的所有优点。我还是轴对称图形，也是中心对称图形。一般的平行四边形不是轴对称图形，长方形和菱形有2条对称轴。我有4条对称轴，比其他图形都多。我沿着两个相对的顶点的连线折叠，仍然会重合。”

　　听完正方形的演讲，大家一致认为它才是最合适的人选。它的优点最多，用处最大，由于它对称性非常好，因此看起来也非常好看。其实，正方形的优点还有很多，在以后学习中你还会学到它更多的优点。

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　　德国杰出的自然学家亚历山大·洪堡德在喀山拜访俄国非欧几何学的创建者罗巴切夫斯基时，他问数学家：“为什么您只研究数学呢？据说您对矿物学造诣很深，对植物学也很精通。”

　　“是的，我很喜欢植物学，”罗巴切夫斯基回答说，“将来等我结了婚，我一定搞一个温室……”

　　“那您就赶快结婚吧！”

　　“可是恰恰与愿望相反，植物学和矿物学的业余爱好使我终身只能是单身汉了。”

　　2.神奇的长方形

　　在前边的故事中已介绍过花拉子模，他在数学方面造诣很深，解决了许多难题。因此，他被聘请进王宫当阿拉伯王子的老师。

　　老国王去世以后，王子继承了王位。年轻的国王并没有像人们想象的那样拯救国家，带领人民走出危机，而是整日带领侍从出外打猎。三年过去了，国家仍然处于水深火热之中，民不聊生，生活困苦。

　　一天，国王忽然召集了所有的大臣，大臣们都到了，只见国王一脸愁容地坐在那里。

　　众大臣都到达以后，国王忧心忡忡地说：“从前天开始，连续两晚，我梦见了去世的祖父，他老人家说，真主要降灾难给我们的国家了。我十分害怕，就问他老人家，有什么办法能祈求真主宽恕我们。他说，是有一个办法：用金子做成一种长方形，长和宽都是3尺的整数倍，而它的周长数恰恰等于它的面积，把所有大小不同的这样的长方形来供拜真主，才能免除灾祸。”

　　大臣们素来不喜欢这个不思上进的新国王，他们对新国王的提议都没怎么在意，只有丞相上前说：“请陛下放心，我们一定在三天之内把这种金子做的长方形供给真主。”

　　回去以后，丞相开始着手进行这件事情，他匆匆忙忙赶出了一个长方形。他做的是一个长为9尺，宽3尺的长方形，长和宽都是3的整数倍，他把这个黄金长方形献给国王，谁知国王一算，这个长方形的周长数是24，而面积却是27，两个数不相等，和要求并不符合。国王以为丞相没有认真去办，一怒之下重重罚了丞相。邮政大臣想，丞相所之以没有做出国王要求的长方形，是因为周长和面积数不相等，怎么使它们相等呢？于是邮政大臣就做了一个长和宽都等于4的正方形，这样，它的周长和面积数都是16，符合第二个要求。然而，自认为挺聪明的邮政大臣只注意了第二个条件，没有注意第一个条件，4怎么会是3的整数倍呢？邮政大臣又触怒了国王，家产都被查收了。这下，大臣们都惊慌起来。

　　国王看着这一切，大声叹息说：“难道我们的国家和人民没法拯救了吗？难道真主真的要降临灾祸给我们吗？”这时，他的老师花拉子模出现在众人面前，双手捧着一个盘子，里面放着一个金箔做成的长方形，走到国王面前，说道：“陛下，这就是真主所要的祭品。”

　　国王仔细观看这个长方形，它长6尺，宽3尺，都是3的整数倍，而周长数和面积数都是18，也正好相等，国王点点头，可又问：“真主要所有不同大小的这样的长方形，你怎么只献了一个？”花拉子模不慌不忙地回答：“陛下，我反复地算过了，真主所要的礼品就只是这么一个。”

　　国王看到花拉子模献上了符合要求的祭品，十分高兴。他举行隆重的祭礼，同时，新国王又接受了大臣们的建议，采取了一系列有效的政治措施，把国家和人民从水深火热之中解救出来。阿拉伯王国又走上了繁荣兴旺之路。

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　　老师在课堂上提问：“西班牙在15世纪发生了多少次战争？”

　　“6次。”一个学生很快就答出来了。

　　“哪6次？”老师又问。

　　“第一次、第二次、第三次、第四次、第五次和第六次。”

　　3.角是怎么诞生的

　　天空中最快乐的成员要属小圆点了，它每天都不老实，总是到处乱窜。可是突然有一天，它一不小心掉到了地面，在挣扎的过程中还扯了太阳公公两根头发。

　　就在调皮的小圆点不知道如何是好时，圆规大叔过来了，它对小圆点说：“不要紧，我来把你和两条射线连接起来，不过，连起来就不见得是一条直线了。”

　　“那是怎么回事呢？”小圆点问。“你看！”圆规大叔边说边拉起了两条射线，把它们连在了一起。“这是什么呀，怎么还有一个拐角啊？”小圆点惊叫一声。圆规大叔告诉它：“射线接头的地方叫做角的顶点，从角的顶点引出的两条射线叫做角的边。”调皮的小圆点，还不太适应这个新名字。

　　其实我们周围生活中的事物，存在各种各样的角。可以说，只要有直线的地方，就一定有角。我们的门、窗、桌、椅、板凳都有直角，我们尖尖的房顶是钝角，我们使用的三角板上边有锐角。

　　平常使用的钟表的指针，时针和分针在不停地转动，它们有时组成锐角，有时组成直角，有时组成钝角，还可以组成平角和周角。如果能仔细观察，就很容易理解角的知识了。

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　　老师公布成绩：

　　“小华30分、小明20分……”

　　小亮：“我考0分！”

　　小辉：“怎么办，我也是……”

　　小亮：“我们两个考同分，老师会不会以为我们作弊啊？”

　　4.有趣的莫比乌斯圈

　　数学王国中，莫比乌斯圈以神秘著称。万琨很想自己制作一个莫比乌斯圈，数学老师让她按照下面的方法自己制作一个。

　　一张纸条，把它一面涂成红色，一面涂成蓝色。

　　把纸条的两面用笔在中间各画一条中心线，然后把两端粘上，成为一个纸圈。用笔沿着外面的中心线画一圈，笔还在圈的外面；用笔沿着里面的中心线画一圈，笔还留在圈的里面。

　　先把纸拧一下，然后把两端粘上，用笔沿着外面的中心线画一圈，你会发现这条中心线特别长，而且是把红、蓝两面都画过一次，最后又到了原来的出发点。试试看，是不是感觉很神奇？

　　看来，这一先一后粘成的圈是不同的，前一个圈有里面外面之分，数学上叫双侧面；后一个圈没有里面外面的区别，叫做单侧面。

　　一个双侧面的纸圈，顺着中心线把它剪开，得到两个断开的纸圈；一个单侧面的纸圈，顺着中心线把它剪开，得到的仍是一个纸圈，这个纸圈变大了；中间拧了两次，由于它拧了两次，再沿中心线剪开就变成两个圈了，这两个纸圈还紧紧套在一起。

　　这种单侧面的神奇纸圈就叫“莫比乌斯圈”。数学老师还告诉万琨，莫比乌斯圈是德国数学家莫比乌斯首先发现的，玩“莫比乌斯圈”已经成了世界各国数学爱好者的游戏。在美国华盛顿一座博物馆门口，耸立着一座两米多高的莫比乌斯圈，它每天不停地旋转，向人们展示着数学的魔力。

　　万琨越听越着迷，她决定现在就着手自己做一个神奇的莫比乌斯圈。

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　　一对青年男女坐在沙滩上。男青年在地上画个圆圈说道：“我对你的爱，就像这圆圈一样，永远没有终点。”

　　女青年也用手指在地上画个圆，然后说：“我对你的爱，永远没有起点。”

　　5.车轮圆形的奥秘

　　帅帅和龙龙是形影不离的好朋友，突然有一天，龙龙开始对着车轮子发呆，好像有什么问题想不明白。帅帅问龙龙被什么问题难住了。龙龙神秘地说：“我发现一个秘密，车轮子都是圆的。”这下逗乐了帅帅。他笑着说：“你见过三角形、方形的轮胎吗？车轮本来就是圆的嘛。”龙龙对他这个回答不以为然，他特别想知道原因。于是他俩找到数学老师王老师来询问。

　　王老师问明了来意，拿出一张纸，用图钉在上边定一个点，拴一条细绳，然后在绳的另一端拴一支笔。绳子绕着钉子转一圈，笔就会在纸上画出一个圆。王老师笑着说：“我们把绳子的长度叫做半径。把车轮做成圆形，然后把车轴安在圆心上，车轴离开地面的距离就总是等于车轮的半径那么长了。这样当车轮在地面上滚动的时候，车子就可以平稳顺利地往前开。如果车轮做成三角形或正方形，车轮的边缘到车轴的距离不相等，那么车子走起来就会忽高忽低，很难前进了。你们想一想，是不是这个道理呢？”

　　王老师讲了之后，龙龙和帅帅明白了，他们深有感触地说：“看来，处处离不开数学啊！”

　　“对啊，生活中处处都有数学的影子，学好数学知识对每个人都非常重要。”王老师语重心长地说。

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　　有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强答应照看一下4个年幼好动的孩子。当妻子回家时，他交给妻子一张纸条，上写：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩具气球各5次，每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿过马路26次；我还想再过这样的星期六0次。”

　　6.用拐杖测金字塔的高度

　　古埃及的金字塔流传至今，它的雄伟壮观折服了无数的游客。

　　关于金字塔的来历，有人怀疑是外星人建造的，也有人对它的高度产生疑问。

　　虽然没有经过直接的确认，但是根据许多著名历史学家的推测，金字塔绝对不可能是外星人的“作品”，它的确是在很久以前由数千名劳动者耗费了上百年的时间投入了巨大的人力物力建造而成的。

　　关于金字塔的高度，有人建议爬到塔顶去测量一下，可是很难找到合适的尺子。

　　可是这一切都不是很现实，有没有简便的方法来测量一下呢？其实，距今2500年前泰勒斯就找到了测量金字塔高度的科学的方法。他使用的工具仅仅是一根普通的拐杖。

　　泰勒斯是古希腊的数学家、哲学家和天文学家，在成为学者之前他曾经做过盐油生意，因为聪明过人最后成了一名学者。

　　放弃经商的泰勒斯曾经游历过许多国家，来到埃及后，泰勒斯就对见到的巨大金字塔产生了强烈的好奇心。

　　“那么庞大的金字塔到底有多高呢？”

　　冥思苦想的泰勒斯就用随身携带的一根拐杖计算出了金字塔的高度。

　　泰勒斯首先来到一块远离金字塔的空地上，把拐杖朝天空垂直插在地上，此时拐杖就会在地面上形成长长的影子。泰勒斯就开始在脑中想象出一个直角三角形，三角形的高就是拐杖的长度，它的底就是拐杖的影子，并对实际的拐杖长度和影子长度进行了测量。

　　金字塔的高度可以看做是从金字塔的尖顶到地面的垂直距离。泰勒斯同样把这个金字塔的高度看做是一个巨大直角三角形的高，而把金字塔的影子看做是这个三角形的底边，并在测量拐杖影子的同时测量出了金字塔影子的长度。

　　你能画出泰勒斯当时想象的三角形的形状吗？你能找到两个三角形相似的地方吗？两个相似的三角形虽然大小发生了变化，可是大小的比例并没有变化。所以，金字塔大三角形与拐杖小三角形的高度之比、长度之比都是完全一致的。

　　当拐杖的影子长度为2米，金字塔的影子长度为500米，拐杖的长度为1米时，

　　（金字塔的高度）∶500=1∶2

　　（金字塔的高度）=500×1\/2

　　即，金字塔的高度为250米。

　　泰勒斯就是用这个科学的方法测量出了金字塔的高度。这在泰勒斯生活的年代是一个伟大的创举。

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　　工程师、物理学家和数学家同时接到一个任务：将一颗钉子钉进一堵墙。

　　工程师造了一件万能打钉器，即能把任何一种可能的钉子打进任何一种可能的墙里的机器。

　　物理学家对于榔头、钉子和墙的强度做了一系列的测试，进而发展出一项革命性的科技——超低温下超音速打钉技术。

　　数学家将问题推广到N维空间，考虑一个1维带扭结的钉子穿透一个N-1维超墙的问题。很多基本定理被证明……当然啦，这个题目之深奥使得一个简单解的存在性都远非显然。

　　7.神秘的金字塔

　　宏伟的金字塔是世界上最古老的建筑之一，矗立几千年不倒，这里边一定有原因。许多科学家都被它别致的设计、精巧的建筑吸引。据对最大的胡夫金字塔的测算，发现它原高146.5米（现因损坏高137米），基底正方形每边长233米（现为227米）。但是，各底边长度的误差仅仅是1.6厘米，只是全长的1\/14600；基底直角的误差只有12″，仅为直角的1\/27000度。此外，金字塔的四个面正向着东南西北，底面正方形两边与正北的偏差，也分别只有2′30″和5′30″。

　　如此精确的建筑在今天也不多见，由此可以看出，古埃及人已掌握了丰富的几何知识。从流传下来的文献资料来看，他们已经可以计算长方形、三角形和梯形的面积，长方体、圆柱体、棱台的体积等，与现代计算值相近。

　　有了雄厚的数学知识支撑，古埃及人能建成如此雄伟、壮观的金字塔也就不足为奇了。它给世界历史留下了十分辉煌的一页。

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　　姐姐：“这次作文你得了多少分？”

　　弟弟：“130分。”

　　姐姐：“什么？满分才是100分，你咋能得130分？”

　　弟弟：“你不信？不信我就念给你听听：今天，蓝天十分蓝，青山十分青，绿树十分绿，红花十分红，街道十分宽，行人十分稠，车辆十分多，喇叭十分响，风景十分美，空气十分鲜，歌声十分亮，吃饭十分甜，睡觉十分香。这13个‘十分’，加起来不是130分吗？”

　　8.阿凡提智斗狡猾的地主

　　有一地主非常狡猾，他经常欺诈百姓，并以此为乐。有一年，他家窗户坏了。

　　修了3天，眼看窗户快要修好了，可是那个地主对工钱却只字不提。阿凡提忍无可忍，就问管家：“这修窗户的工钱怎么不给呢？”管家听了，冷笑了一下说：“我们家老爷吩咐了，还有一件小事儿要做，做完才能付工钱。”说完，他叫人拿出一块木板，指着木板说：“要是你能把这块木板锯成两块，合起来正好是个正方形，老爷说了不但给工钱，而且还有奖赏呢！要是你没有本事完成这件差事，那么，你的工钱分文不给。”

　　阿凡提听了，知道是老地主又要耍鬼点子赖工钱，心里很气愤。他对着那块木板仔细打量了一下，心里有了主意，就故意说：“你们故意生出这样的花样，不是存心想赖我的工钱吗？”

　　“胡说！谁想赖你的工钱呢？”那个老地主突然不知从哪里钻了出来。“没有本事怎么能出来赚钱？如果有本事你就把它锯拼成功，工钱一文不少给。”

　　阿凡提见老地主中了自己的圈套，便说：“好吧！一言为定！”