第69章 几何的故事(2)

　　“一言为定！”老地主咧开了嘴，他以为阿凡提上当了，得意洋洋地重复了一句。这时，阿凡提把木板量了一下，举起了锯子，就在木板上锯了起来，不一会儿，把木板锯成了两块，拼起来正好是个正方形。那个老地主和他的管家都惊得目瞪口呆，老地主不得不叫管家把工钱算给了阿凡提。

　　你知道其中的奥妙吗？

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　　“数字是不会骗人的，”老师说，“一座房子，如果一个人要花上12天盖好，12个人就只要一天。288人只要一小时就够了。”

　　一个学生接着说：“17280人只要一分钟，1036800人只要一秒钟。此外，如果一艘轮船横渡大西洋要6天，6艘轮船只要一天就够了。4杯25℃的水加在一起就变开水了！数字是不会骗人的！”

　　9.陈星出洋相

　　陈星最近学会了计算三角形面积的方法。平时就爱骄傲的陈星又翘起了尾巴，好像自己成了数学家，还常常嘲笑同学们笨。

　　消息传到了校长那里，校长决定好好地教育一下陈星。这天，校长请陈星、陶陶、欣宜和纪洁来家里面玩。校长在地下画了一个三角形，并且标出了三角形的高和底，他说要考考小朋友们，看谁先算出三角形的面积。

　　陈星一看是计算三角形的面积，非常高兴，心想，这样的问题哪能难倒我，三角形的面积公式我可是滚瓜烂熟呢！他眨眨眼睛，抓抓头皮，迅速报出了答案：“8×6÷2=24（平方米）。”

　　“仔细看看题目，看清楚了再答。”校长在旁边提醒道。

　　“没错，还有一种算法，8×7÷2=28（平方米），”陈星信心十足地说。话音未落，引来一阵哄堂大笑。陈星发觉有点不对，定眼一看，怎么同一个三角形，用两种算法计算面积，结果不一样呢？都是“底×高÷2”啊，难道有错吗？于是他有点不知所措了。

　　校长没有直接告诉他答案，而是请小朋友们仔细观察一下这个三角形的底和高，看看陈星闹笑话的原因到底在哪里。

　　大家看了一会，欣宜看出了原因，她说：“三角形面积公式‘底×高÷2’没有错，但是选择底和高要相互对应，高要是底边上的高，不能任意选择不相关的底和高来计算三角形的面积。你看，6和7都不是底边8上的高，所以答案既不是24也不是28。”校长微笑着点了点头。

　　陈星听了以后，大吃一惊，仔细一看，原来这个三角形的面积计算还缺少条件。有底但是无对应的高，有高但无对应的底。陈星明白自己出了个大洋相，不禁羞愧地低下了头。

　　从此，陈星再也不骄傲了，他更加努力学习，年终考试时获得了数学单科成绩第一名的好成绩。

　　10.聪明的欧拉智改羊圈

　　欧拉是一个数学天才，从小他就非常喜欢思考，他问的问题老师都经常答不上来。最后，他惹恼了一位老师，被赶出了校园。

　　欧拉回家后开始帮爸爸放羊，做了牧童的他一边帮爸爸放羊，一边自学。

　　爸爸的羊渐渐增多了，原来的羊圈有点小了，爸爸决定建造一个新的羊圈。他用尺量出了一块长为40米、宽为15米的长方形土地，正打算动工的时候，发现篱笆不够用，因为篱笆只有100米。这让父亲非常发愁。

　　小欧拉却向父亲说，不用缩小羊圈，也不用担心每头羊的领地会小于原来的计划。他有办法。父亲不相信，但还是同意让儿子试试看。

　　小欧拉以一个木桩为中心，将原来的长方形羊圈变成了一个四个边都为25米的正方形。然后，小欧拉很自信地对爸爸说：“现在，羊圈就能容下所有的羊了。”欧拉的父亲很诧异，他把羊赶进羊圈试了试，发现果然如欧拉所言，篱笆数目没变可是里边空间变大很多。年轻的欧拉就表现出了过人的天赋，难怪他能在以后的数学研究中取得巨大的成绩。

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　　一块草地，四周用30块长度相同的木块围成长方形，种了10棵玫瑰。现在要扩大花圃面积，但要保持长方形，又要节约木板，有一个园丁说：“再给我2块木板，我可以把花圃面积扩大1倍。”另一个园丁说：“我不用再增加木板，一样把面积扩大3倍。”请你动脑筋想一想，他们分别是怎么做到的？

　　11.勾股定理不平凡的经历

　　中国在很早的时候就有勾股定理的应用了。

　　公元前1100年左右的西周时期的一天，周公向数学家商高请教数学知识：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下，天没有梯子无法上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地间的一些数据呢？”

　　“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识，其中有一条原理——当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的啊！”这位世界上第一位数学家自信地告诉周公。

　　大约在公元50～100年间，祖冲之在他的著作《九章算术》中对勾股定理又有了更加规范的表达。书中的《勾股章》说：“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”

　　中国古代的数学家们不仅很早发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。他创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合的方法，给出了勾股定理的详细证明。赵爽的证明方法非常巧妙，采用对几何图形的截、割、拼、补等方法，利用它们之间的恒等关系，把勾股定理证明得形象直观又科学严密，令人十分信服。这种方法被后人称为“形数统一法”。

　　希腊数学家欧几里得在他编著《几何原本》时，认为勾股定理是公元前550年的毕达哥拉斯最早发现的，并称它为“毕达哥拉斯定理”，因此在世界上广为流传。其实，毕达哥拉斯的发现比中国人晚得多。

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　　一位农夫请了工程师、物理学家和数学家来，想用最少的篱笆围出最大的面积。

　　工程师用篱笆围出一个圆，宣称这是最优设计。

　　物理学家将篱笆拉开成一条长长的直线，假设篱笆有无限长，认为围起半个地球总够大了。

　　数学家好好嘲笑了他们一番。然后他用很少的篱笆把自己围起来，然后说：“我现在是在这个面积的外面。”

　　12.最完美的比例——黄金分割

　　毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家和哲学家。

　　有一天毕达哥拉斯外出时，经过了一家铁匠铺。“哐当，哐当……”他注意到铁匠师傅用铁锤敲击铁砧的声音非常奇妙。

　　这位细心的学者便停下脚步，仔细地听。

　　毕达哥拉斯对打铁声音非常熟悉，可是，这一次他听到声音好像“与众不同”，这叮叮当当的敲击声音是那么和谐，简直像音乐一样。

　　怀着好奇之心，循着叮当的打铁声音毕达哥拉斯走进了这家并不起眼的铁匠铺。望着熊熊炉火，望着满面红光的铁匠，这个“书呆子”不解地说：“师傅，你先停停，你打铁的声音怎么如此特别呢？”

　　铁匠放下铁锤，喘着粗气说：“有什么特别呢？难道打铁能打出音乐？”

　　“是啊，你的铁锤和铁砧之间敲击发出的声音，与别的铁匠铺里发出的声音不一样。这是一种很和谐的声音。”毕达哥拉斯认真地说，他被这个现象深深地吸引了。

　　毕达哥拉斯掏出了随身带着的一根尺子，用它绕铁锤量了一圈，又绕铁砧量了一圈，最后发现这铁锤和铁砧之间的比恰好是1∶0.618。

　　“难道这和谐的声音与铁锤、铁砧之间的大小有关？是不是每一个铁匠铺里的铁锤与铁砧之间都有这样的比例？”毕达哥拉斯迷惑不解地问道。

　　“我从没注意过这些。”铁匠对毕达哥拉斯的询问也非常迷惑。

　　“那好。我再到别的铁匠铺里看看。”说完，毕达哥拉斯离开了这家铁匠铺。

　　执著的毕达哥拉斯对大街小巷的铁匠铺多次走访，量了无数家铁匠铺的铁锤和铁砧，终于发现，只要两者之间的比是1∶0.618，敲击的声音都比较优美、悦耳。

　　这就是最早发现黄金分割定律的故事。

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　　作已知线段的黄金分割点

　　2000多年前，古希腊的柏拉图派学者欧多克斯，首先使用尺规作图做出已知线段的黄金分割点，他的做法如下：

　　1．设已知线段为AB，过点B作BC⊥AB，且BC=AB\/2；

　　2．连AC；

　　3．以C为圆心，CB为半径作弧，交AC于D；

　　4．以A为圆心，AD为半径作弧，交AB于P，则点P就是AB的黄金分割点。

　　13.怎样计算地球的周长

　　哥伦布和麦哲伦以自己的生命为代价，证明了地球是圆形的。在他们之前还有没有人证明地球的形状呢？其实距今约2000年前，埃拉托斯尼不仅已经发现地球是圆的，而且还计算出了地球的大小。

　　埃拉托斯尼不仅是世人皆知的发现素数的数学家，也是一位伟大的天文学家和地理学家。

　　他是用什么方法计算出地球大小的呢？那个时候根本没有当今这么多的仪器，那埃拉托斯尼只能是利用数学来完成他的工作的。

　　在埃及的尼罗河边有一座名为西因的城市。西因城中有一口古老的井。埃拉托斯尼发现，在6月21日12点的时候，阳光会垂直照到井底，与此同时，在北部距离西因约800公里的亚历山大的太阳光线有7.2°的倾斜。所以他利用了“圆弧的长度与中心角成正比”这一定理。图中弧AB的长已测量出是800千米，所以就有了这样一个等式：

　　（地球周长）：800千米=360°∶7.2°

　　埃拉托斯尼最后计算出地球的周长是40000千米，而今天《大英百科全书》记载的地球周长是40075千米，两者之间只有75千米的差距。

　　14.小姑娘智胜国王

　　从前，一个小女孩被封为是“最聪明的小姑娘”。这个小姑娘心地善良，头脑聪明，最重要的是她懂得非常多的数学知识。这个小姑娘的故事传到国王耳朵里。小心眼的国王非常想考考这个小姑娘，他冥思苦想了很长时间，终于想出了一道数学题，于是他立即下令让小姑娘来见他。

　　这个勇敢的小姑娘并不害怕，她走了很长时间的路终于来到了王宫。国王一看小姑娘满脸的稚气，心中暗想：就这么一个黄毛丫头，怎么可能那么聪明呢？我随便出个难题，准能难倒她。于是，国王慢吞吞地说：“听说你很聪明，不知是真是假。现在我给你一个任务，如果完成得好，我就封你为‘全国最聪明的人’，如果你干砸了，那么对不起，你要去坐大牢。”然后，他说出了早已经想好的题目：王宫前面有一个长50米、宽20米的长方形广场。广场中央立着一个大牌坊。广场需要改修一番，面积不变，牌坊也不许挪动，但改修以后，牌坊必须立在广场的前缘。

　　国王的问题说完以后，大臣们都不知道应该怎样回答，因此他们在心里都为这个小姑娘捏了把汗。心想：这小姑娘肯定要坐大牢了！一个小毛孩子，这样的工程肯定干不了。可小姑娘一点也不惊慌，从容不迫地说：“这好办，只要派给我100个工人就行了，一周之内，保证完成。完不成的话，我甘愿坐大牢。”

　　小姑娘迈着大步离开了。国王暗暗高兴：别看你现在大包大揽的，到时候就有好戏看了。想到这里，狡猾的国王笑了。

　　国王艰难地熬了一周，他很想看到小姑娘失败的样子。这天清晨，国王刚刚起床，侍从便急匆匆地跑过来报告，说是小姑娘已经把广场修好了。国王一听，半信半疑，走出宫门一看：他已经认不出来了，原来的广场完全变了模样。更神奇的是，那座大牌坊虽然未经挪动，却格外引人注目地耸立在广场的前缘。

　　小姑娘是怎样完成这次浩大的工程的呢？原来，小姑娘头脑中的数学知识发挥了作用。她想起了几何中的一个原理：在矩形中，面积一定的话，长和宽正好成反比例关系。也就是说，当宽大了一定的倍数时，要保持面积不变，只需要把长按同样的比例缩小就可以了。根据这一原理，她将广场的长设为40米，宽改为25米。这样，面积虽然仍然是1000平方米，但牌坊的位置却自然而然地从广场中央变到前缘去了。

　　小心眼的国王这次彻底服了，他没想到小姑娘小小年纪却这样厉害，他迫不得已，只能封小姑娘为“最聪明的人”。

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　　爸爸有一个测谎器，他问儿子：“你今天的数学成绩如何呢？”

　　儿子答道：“90分。”测谎器响了。

　　儿子又改说：“70分。”测谎器还是响了。

　　爸爸很生气地叫道：“我以前都是90分以上。”这时，测谎器没有响却翻倒了。

　　15.聪明的狄多公主

　　狄多是罗马帝国附近一个国家的公主。她非常聪明。可是在她十几岁的时候，国内发生叛乱，国王被杀死，狄多公主经过千辛万苦逃到了非洲。

　　狄多公主不仅失去了父亲，而且失去了国家。她希望能够为父亲报仇，夺回被叛乱者占领的国家。但是现在，她首先需要有一块栖身之地。于是，她去求见当地的酋长雅布王，乞求他给自己一些土地。

　　酋长非常同情狄多公主的遭遇，但是人都是有私心的，他又不愿意给狄多公主太多的土地。进退两难时，他的手下给他出了一个主意，酋长听了非常高兴，决定采用那种方法。

　　第二天，雅布王召见狄多公主，他令人拿出一张犍牛皮，指着它说：“亲爱的狄多公主，我决定赐给你一些土地。你看到这张犍牛皮没有？你用它围住多大的土地，我就把多大的土地赐给你。”

　　听了雅布王的话，狄多公主的手下都很气愤，一张小小的犍牛皮才能围住多少土地呢？这不是明摆着欺负人吗？有的人甚至要上前和雅布王评理。

　　狄多公主看了看那张犍牛皮，沉思了一下，然后走上前去，拿起犍牛皮，对雅布王鞠了一躬，说：“谢谢您的好意，我现在就去围地。”说完便带领着卫士们离开了。